Aunque el título puede parecer que hablamos de tres cosas similares, es importante diferenciar tres conceptos:

• Cambiar/agregar/eliminar correo de Gmail/Hotmail/etc del movil.
- En este caso solo cambias el correo donde recibes tus emails, al que normalmente puedes acceder desde la app Mail/Gmail/Outlook.
No afecta al correo de tu ID de Apple ni su funcionamiento.

• Cambiar correo de la id de Apple.
- En este caso mantienes todos tus datos compras y configuraciones del teléfono asociadas a tu cuenta de Apple y solamente cambias el correo.
Desde el iPhone se cambia en Ajustes > tu nombre > Nombre, teléfono, email.
Luego eliminar el correo actual y agregar otro (no debe estar vinculado a otra cuenta de Apple ni ser un vídeo de verificación de Apple).

• Cambiar ID de Apple.
- En este caso se cambia una ID/cuenta de Apple por otra diferente.
Para esto se va a Ajustes > tu nombre > Cerrar sesión.
Una vez cerrada la sesión puedes elegir entre dejar en el teléfono una copia de todos tus datos como contactos, calendarios, etc o eliminarlos por completo.
Luego deberás ingresar con una cuenta ya existente o crear una desde cero.
En este caso al sustituir una cuenta por otra, las aplicaciones que hayas descargado con la cuenta antigua quedarán vinculadas a la cuenta antigua por lo que si en el futuro cargas una copia de seguridad te dará el mensaje de que hay aplicaciones que han sido compradas con otra idea de Apple.

Esto es un post muy por encima otro espero que os pueda ser útil.
Saludos